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Print ISSN 0103-4014

Estud. av. vol.5 no.13 S=E3o = Paulo Dec. 1991

doi: 10.1590/S0103-40141991000300005

ARTIGOS

A = Alegoria em=20 Matem=E1tica

N=EDlson Jos=E9=20 Machado

RESUMO

A = caracteriza=E7=E3o do=20 estilo no texto matem=E1tico e a similaridade dos pap=E9is desempenhados = por=20 Met=E1foras, Alegorias e Modelos no estabelecimento de pontes entre = diferentes=20 campos sem=E2nticos s=E3o o ponto de partida para o exame da presen=E7a = de constru=E7=F5es=20 aleg=F3ricas no ensino de Matem=E1tica. Diversos exemplos s=E3o = analisados,=20 sugerindo-se a essencialidade do recurso a tais constru=E7=F5es e = concluindo-se que=20 a permanente transi=E7=E3o entre os sentidos literal e figurado =E9 o = motor dos=20 processos criativos nas Ci=EAncias e na Matem=E1tica, como na = L=EDngua.

ABSTRACT

The=20 characterization of style in mathematical texts and the similarity of = functions=20 performed by metaphors, allegories and models as links between distinct = semantic=20 fields are the start point in examining the presence of allegoric = constructions=20 in mathematical teaching. Several examples are analysed, suggesting the=20 essentiality of making use of such constructions and concluding that the = permanent transition between the literal and the figurative senses is = the motor=20 of creative processes in Science and Mathematics, as in = Language.

=C9 = muito freq=FCente,=20 em rela=E7=E3o =E0 Matem=E1tica, associar-se =E0 sua linguagem = caracter=EDsticas putativas=20 como as de exatid=E3o e monossemia, bem como uma aus=EAncia ou = minimiza=E7=E3o nas=20 conota=E7=F5es ou de valores de estilo. Essas caracter=EDsticas seriam, = ent=E3o,=20 elementos fundamentais para uma diferencia=E7=E3o categ=F3rica entre a = linguagem=20 matem=E1tica e a l=EDngua corrente, onde pululam ambig=FCidades, =E9 = permanente a=20 inger=EAncia do contexto sobre o texto e s=E3o determinantes as = qualidades de=20 estilo.

Apesar = da aparente=20 hegemonia, h=E1 muito mais ades=F5es acr=EDticas a tais pontos de vista = do que uma=20 franca discuss=E3o a esse respeito. Aqui e ali se encontram trabalhos = diretamente=20 relacionados ao tema, como s=E3o Filosofia do Estilo, de = Gilles-Gaston=20 Granger (Granger, 1974) ou Introducci=F3n al estilo matem=E1tico, = de Javier=20 de Lorenzo (Lorenzo, 1989). No primeiro, ap=F3s uma s=E9rie de = considera=E7=F5es sobre=20 uma estil=EDstica geral, com o estabelecimento das bases de urna = estil=EDstica da=20 pr=E1tica cient=EDfica, o autor examina o papel do estilo na = constru=E7=E3o do objeto=20 matem=E1tico. Assim, s=E3o examinados sucessivamente o Estilo = Euclidiano, o Estilo=20 Cartesiano, o Estilo Arguesiano, o Estilo Vetoriai, e a percuci=EAncia = das=20 an=E1lises n=E3o deixa margem a d=FAvidas quanto =E0 pertin=EAncia das = quest=F5es tratadas.=20 No segundo, ap=F3s um exame cuidadoso das caracter=EDsticas da linguagem = matem=E1tica,=20 s=E3o tamb=E9m identificadas certas categorias de estilo como o Estilo = Operacional,=20 o Estilo Formal, ou o Estilo dos Indivis=EDveis. Em ambos os casos, a = Matem=E1tica =E9=20 tratada de uma forma n=E3o estereotipada, com o delineamento de suas=20 caracter=EDsticas b=E1sicas sem um atrelamento compuls=F3rio de id=E9ias = preconcebidas=20 como as inicialmente citadas.

Neste = trabalho,=20 examinaremos uma quest=E3o que tangencia temas como os acima referidos, = estando=20 neles presente, ainda que em forma potencial: trata-se de evidenciar que = a=20 Met=E1fora, uma figura de ret=F3rica que predomina na linguagem = po=E9tica, mas que =E9=20 importante, de uma maneira geral, na caracteriza=E7=E3o do Estilo, =E9 = um instrumento=20 essencial aos que se dedicam =E0 Matem=E1tica, sobretudo ao seu ensino. = Incluindo as=20 Alegorias, enquanto Met=E1foras continuadas ou como cadeias de = Met=E1foras,=20 mostraremos que a presen=E7a do sentido figurado em contextos = matem=E1ticos, se n=E3o=20 =E9 a regra, nem de longe constitui exce=E7=E3o, podendo exercer = relevantes fun=E7=F5es no=20 desempenho de tarefas docentes. Nossa expectativa =E9 a de que, ao final = da=20 leitura, mais do que alertados para a import=E2ncia da Alegoria, = estejamos=20 motivados para a explora=E7=E3o deste recurso da ret=F3rica como = instrumento para o=20 ensino de Matem=E1tica.

Met=E1foras,=20 Alegorias, Modelos

=C9 = quase imposs=EDvel=20 come=E7ar a discorrer sobre a Met=E1fora sem ter Arist=F3teles como = ponto de partida.=20 Para o estagirita, a Met=E1fora consiste em dar a uma coisa o nome de = outra coisa,=20 produzindo-se como que uma transfer=EAncia de significados, com base na = analogia=20 ou na semelhan=E7a. E o que ocorre quando afirmamos que o jogador X = =E9 um le=E3o,=20 que a secret=E1ria, do senhor Y =E9 um doce, ou que o = governo fechou=20 as torneiras do Banco Central. Etimol=F3gicamente, a palavra = Met=E1fora deriva=20 das palavras gregas met=E1 (trans, al=E9m de) e ph=E9rein = (levar,=20 transportar).

Outras = concep=E7=F5es=20 podem contribuir para a compreens=E3o do significado e da fun=E7=E3o = desempenhados=20 pela Met=E1fora no discurso. Segundo o ling=FCista Richards, co-autor, = juntamente=20 com Ogden, de um texto cl=E1ssico sobre o significado (Ogden/Richards,=20 1938),

"A = met=E1fora =E9=20 fundamentalmente um pr=E9stimo m=FAtuo entre pensamentos, uma = transa=E7=E3o entre=20 contextos, uma coopera=E7=E3o entre id=E9ias".

O = escritor=20 argentino Jorge Lu=EDs Borges tenta traduzir metaforicamente o = significado da=20 Met=E1fora, quando afirma que ela =E9

"uma = simpatia=20 secreta entre conceitos" (Borges, 1974).

De um = modo um pouco=20 mais t=E9cnico, ainda que igualmente esclarecedor, Herbert Read = apresenta a=20 Met=E1fora como

"a = s=EDntese de=20 v=E1rias unidades de observa=E7=E3o em uma imagem dominante; =E9 a = express=E3o de uma=20 id=E9ia complexa n=E3o pela an=E1lise ou por formula=E7=F5es = abstratas, mas por uma=20 percep=E7=E3o repentina de uma rela=E7=E3o objetiva" (Apud = Waldron,=20 1979).

Sem = d=FAvida, o valor=20 da Met=E1fora enquanto instrumento liter=E1rio =E9 amplamente = reconhecido, sendo=20 inteiramente dispens=E1veis ou impertinentes considera=E7=F5es a = respeito, sobretudo=20 oriundas de um professor interessado no ensino de Matem=E1tica. N=E3o = resistimos,=20 por=E9m, =E0 transcri=E7=E3o de um pequeno poema de Orides Ponteia = (Ponteia, 1988), onde=20 a utiliza=E7=E3o desse instrumento se faz com not=E1vel = maestria:

=C9, no = entanto, fora=20 do =E2mbito liter=E1rio que nos interessa evidenciar a relev=E2ncia da = Met=E1fora e,=20 mais particularmente ainda, a fun=E7=E3o que pode desempenhar no seio do = pensamento=20 matem=E1tico.

Com = rela=E7=E3o ao=20 desenvolvimento do racioc=EDnio, =E0 concatena=E7=E3o de id=E9ias nas = pessoas em geral,=20 Marvin Minsky, professor e pesquisador do MIT nas =E1reas de Teoria = Matem=E1tica da=20 Computa=E7=E3o, Intelig=EAncia Artificial e Rob=F3tica, afirma em seu = instigante livro=20 A sociedade da mente (Minsky, 1989):

"Nossas melhores=20 id=E9ias s=E3o, quase sempre, aquelas que transp=F5em dois mundos=20 diversos"

ou,=20 complementarmente:

"Muitas das boas=20 id=E9ias s=E3o, na realidade, duas id=E9ias numa s=F3 =97 o que forma = uma ponte entre=20 duas esferas do pensamento ou diferentes pontos de=20 vista"

ou=20 ainda:

"Entre nossas=20 mais poderosas maneiras de raciocinar encontram-se aquelas que nos = permitem=20 juntar coisas que aprendemos em diferentes = contextos".

Ora, = =E9 precisamente=20 no estabelecimento de pontes entre diferentes contextos, na = ilumina=E7=E3o de=20 rela=E7=F5es estruturais que subjazem, a despeito da diversidade dos = campos=20 sem=E2nticos, que a Met=E1fora afigura-se como instrumento = fundamental.

Especialmente=20 quando se trata de aproximar dois contextos, um dos quais se apresenta = mais=20 familiar, em termos de percep=E7=E3o das rela=E7=F5es constitutivas, = enquanto o outro=20 afigura-se como o novo, onde se busca o estabelecimento de rela=E7=F5es = germinais,=20 ou o inacess=EDvel =E0 experi=EAncia direta, onde as rela=E7=F5es = precisam ser instauradas=20 pela imagina=E7=E3o, a Met=E1fora emerge como um poderoso instrumento = para a=20 constru=E7=E3o anal=F3gica de pontes entre os temas considerados. Nesse = sentido, a=20 Met=E1fora ocupa lugar de destaque no discurso religioso, atrav=E9s das = par=E1bolas;=20 no discurso da propaganda, atrav=E9s da explora=E7=E3o de rela=E7=F5es = anal=F3gicas=20 convenientes; na imprensa escrita, em momentos onde h=E1 a emerg=EAncia = do novo; na=20 poesia, onde a palavra =E9 essencialmente fundadora e as imagens s=E3o = fundamentais.=20 No mesmo sentido parece caminhar a Matem=E1tica, na medida em que seus = objetos=20 constituem talvez as pontes mais radicais entre os contextos mais = d=EDspares:=20 entre 3 abacaxis, 3 avi=F5es ou 3x, transita o n=FAmero 3; analogamente, = o conceito=20 de anel estabelece fecundas e significativas pontes entre cole=E7=F5es = t=E3o distintas=20 quanto o conjunto dos n=FAmeros inteiros, o conjunto dos polin=F4mios ou = o conjunto=20 das matrizes quadradas; =E9 ainda do mesmo tipo a identifica=E7=E3o do = conjunto das=20 solu=E7=F5es de uma equa=E7=E3o diferencial linear de 2=AA ordem com um = espa=E7o vetorial de=20 dimens=E3o 2.

Poder-se-ia=20 contrapor, neste ponto, a estabilidade de tais constru=E7=F5es = matem=E1ticas com a=20 aparente volubilidade das pontes metaf=F3ricas. Afinal, as Met=E1foras, = mesmo as=20 mais eficazes, iluminam com a fugacidade de um rel=E2mpago, enquanto os = objetos=20 matem=E1ticos, mesmo os mais modestos, operam com a const=E2ncia ou a = tenacidade de=20 uma l=E2mpada ou uma vela. Esta quest=E3o, sem d=FAvida pertinente, = ser=E1 deixada para=20 um outro momento, para que n=E3o nos desviemos demais das metas que = perseguimos. A=20 este respeito, no entanto, tendemos a concordar com Octavio Paz quando, = em O=20 monogram=E1tico (Paz, 1988), ao indagar sobre o sentido da = linguagem, sobre o=20 jogo de correspond=EAncias entre id=E9ia e verbo, palavras e = percep=E7=F5es, afirma=20 perempt=F3rio: "a fixidez =E9 sempre moment=E2nea".

Na = ante-sala de=20 quest=F5es como as que acabamos de citar, continuemos com a = constru=E7=E3o do quadro=20 de refer=EAncia a partir do qual discutiremos a fun=E7=E3o da Alegoria = na compreens=E3o=20 da Matem=E1tica e em seu ensino.

A = Alegoria =E9 uma=20 constru=E7=E3o que tem Met=E1foras como tijolos. Etimol=F3gicamente, a = palavra =E9=20 derivada das palavras gregas all=F3s (outro) e agourein = (falar).=20 Numa f=F3rmula sint=E9tica, "a alegoria diz b para significar = a"=20 (Hansen, 1986). Trata-se, portanto, do engendramento de uma = significa=E7=E3o=20 figurada, densa em rela=E7=F5es, mas com as caracter=EDsticas b=E1sicas = de uma Met=E1fora=20 continuada ou de uma cadeia de Met=E1foras.

Tecnicamente, seria=20 necess=E1rio distinguir as Alegorias das F=E1bulas, das Par=E1bolas ou = dos Mitos, na=20 medida em que, cada qual a seu modo, todos apresentam como = caracter=EDstica b=E1sica=20 o sentido figurado em contraposi=E7=E3o ao literal, as compara=E7=F5es = impl=EDcitas tendo=20 por base analogias ou rela=E7=F5es estruturais. N=E3o nos alongaremos a = esse respeito,=20 assim como n=E3o o fizemos na caracteriza=E7=E3o da Met=E1fora, que = tamb=E9m comportaria=20 uma abordagem t=E9cnica na distin=E7=E3o de seus parentes pr=F3ximos = como s=E3o a=20 Meton=EDmia, a Sin=E9doque, a Hip=E9rbole ou a Catacrese, entre outros. = Em todos os=20 casos citados, o que permanece em tela como conte=FAdo relevante para a = discuss=E3o=20 que pretendemos =E9 a contraposi=E7=E3o entre os sentidos literal e = metaf=F3rico, com a=20 explicita=E7=E3o da import=E2ncia do segundo na linguagem matem=E1tica = ou no ensino de=20 Matem=E1tica.

A = despeito da=20 publica=E7=E3o, em tempos recentes, de trabalhos matem=E1ticos como os = de P. J. FREYD=20 e A. SCEDROV (Categories, Allegories, Amsterdam, North-Holland, 1990) = onde a=20 no=E7=E3o de Alegoria =E9 desenvolvida de uma maneira t=E9cnica, = enquanto objeto=20 matem=E1tico, tal associa=E7=E3o a muitos ainda pode parecer ins=F3lita. = Outras=20 conota=E7=F5es parecem sedimentar a no=E7=E3o de Modelo, quando nos = restringimos ao seu=20 uso mais comum. A associa=E7=E3o quase autom=E1tica entre as palavras = modelo e=20 matem=E1tico, ou entre modelo e te=F3rico s=E3o = sintomas da=20 caracteriza=E7=E3o de uma aura mais t=E9cnica ou de uma maior = respeitabilidade=20 cient=EDfica para os Modelos. Em seu Modelos y met=E1foras = (Black, 1966), Max=20 Black, no entanto, aproxima decisivamente as duas no=E7=F5es, = transformando-se em=20 refer=EAncia obrigat=F3ria para todos os que perquirem tais terrenos. = Segundo=20 Black,

"Falar de=20 'modelos' em rela=E7=E3o a uma teoria cient=EDfica tem j=E1 certo = sabor de met=E1fora:=20 se nos fosse pedido apresentar um exemplo perfeitamente claro e = indiscut=EDvel=20 de modelo no sentido literal desta palavra, nenhum de n=F3s, segundo = me parece,=20 pensaria em falar do modelo at=F4mico de Bohr, nem do keynesiano de um = sistema=20 econ=F4mico".

No = mesmo sentido=20 tamb=E9m caminha Petrie, em Metaphor and learning (P=E9trie, = 1979), quando=20 afirma que:

"Analogias,=20 modelos e solu=E7=F5es de problemas exemplares tamb=E9m desempenham = algumas vezes=20 fun=E7=F5es muito similares =E0s da = met=E1fora".

Corroborando tais=20 pontos de vista, Turbayne afirma em El mito de la met=E1fora = (Turbayne,=20 1974):

"As = met=E1foras=20 podem apoiar-se em sistemas de dedu=E7=F5es especialmente = constru=EDdas, assim como=20 em lugares comuns aceitos; nesse caso, chamam-se=20 modelos".

Neste = ponto, no=20 entanto, urge que estabele=E7amos algumas distin=E7=F5es m=EDnimas, para = que o quadro de=20 refer=EAncia esbo=E7ado n=E3o resulte em mero am=E1lgama de manchas. = Recorrendo ainda a=20 Turbayne, destacamos que, embora a F=E1bula, a Par=E1bola, a Alegoria = sejam, como o=20 Modelo, Met=E1foras estendidas, continuadas, n=E3o sendo exatamente o = que=20 aparentam,

"Diferentemente=20 do modelo, a f=E1bula, a par=E1bola e a alegoria est=E3o destinadas a = inculcar um=20 comportamento melhor. Diferentemente do mito, que cresce como uma = =E1rvore, a=20 f=E1bula, a par=E1bola e a alegoria s=E3o inven=E7=F5es=20 deliberadas".

Complementarmente,

"no = caso da=20 f=E1bula, o autor explicitamente revela a presen=E7a da met=E1fora, em = uma=20 declara=E7=E3o de um tipo superior, que pode surgir repentinamente no = final. Nos=20 outros casos, o usual =E9 deixar que o p=FAblico d=EA sua pr=F3pria = interpreta=E7=E3o. No=20 mito, esta se deixa para a posteridade".

Al=E9m = disso, as=20 F=E1bulas est=E3o usualmente associadas a discursos morais, enquanto as = Alegorias=20 podem extrapolar o discurso argumentativo ou os limites do verbal, = assumindo=20 formas m=FAltiplas como a pintura, a escultura ou a = pantomima.

Resumidamente, no=20 entanto, enfeixaremos nossas considera=E7=F5es sobre a presen=E7a e a = import=E2ncia do=20 sentido figurado em Matem=E1tica, destacando genericamente a Alegoria = como=20 elemento mais abrangente nesse quadro de refer=EAncia. Embora os Modelos = n=E3o se=20 situem muito distantes das quest=F5es ou dos exemplos discutidos, = deixaremos tal=20 aproxima=E7=E3o para um outro momento, remetendo o leitor para o livro = de Max Black,=20 anteriormente referido.

Passemos, ent=E3o, a=20 explicitar a presen=E7a do pensamento figurado em Matem=E1tica, sob a = forma de=20 iluminadoras Met=E1foras ou de sugestivas Alegorias, tendo em vista o = relevante=20 papel que tais instrumentos podem desempenhar no exerc=EDcio da = fun=E7=E3o=20 docente.

Alegorias no=20 ensino de Matem=E1tica

1 = Uso aleg=F3rico=20 de express=F5es matem=E1ticas

Na = utiliza=E7=E3o=20 cotidiana da l=EDngua corrente, termos ou express=F5es da linguagem = matem=E1tica s=E3o=20 freq=FCentemente utilizados em sentido figurado. Em uma discuss=E3o = pode-se, por=20 exemplo, concitar as partes a chegar a um "denominador comum". Fala-se = com=20 naturalidade de "perdas incalcul=E1veis", em "sair pela tangente", em = "retid=E3o de=20 car=E1ter" , em "ver de um outro =E2ngulo", no "x da quest=E3o", ou = ainda, na=20 enigm=E1tica express=E3o "provar por a+b".

Por = outro lado, ao=20 empregar ferramentas matem=E1ticas em outras =E1reas do conhecimento, = como, por=20 exemplo, na Psicologia, s=E3o comuns e inevit=E1veis os sentidos = metaf=F3ricos. Em seu=20 Princ=EDpios de psicologia topol=F3gica (Lewin, 1973), Kurt Lewin = refere-se=20 seguidamente ao "espa=E7o vital", a "regi=F5es do inconsciente", com = destaque para=20 suas "fronteiras" ou para as que s=E3o "abertas" em sentido = topol=F3gico. Mais=20 recentemente, encontram-se em Lacan seguidas refer=EAncias ao "plano = projetivo",=20 ou aos "n=F3s borromeanos", al=E9m de estarem presentes o "toro" ou a = "faixa de=20 M=F6ebius", sempre representando rela=E7=F5es de natureza psicol=F3gica. = Tamb=E9m=20 L=E9vi-Strauss, em A oleira ciumenta (S=E3o Paulo, Brasiliense, = 1986) fala de=20 "mitos em garrafas de Klein".

N=E3o = pretendemos,=20 aqui, examinar a presen=E7a das Met=E1foras envolvendo objetos = matem=E1ticos nos dois=20 sentidos anteriormente referidos, mas sim no caso em que elas s=E3o = concebidas e=20 as Alegorias arquitetadas tendo em vista a compreens=E3o ou o ensino da = pr=F3pria=20 Matem=E1tica.

2 A = Fun=E7=E3o como=20 uma M=E1quina

=C9 o = que ocorre, por=20 exemplo, quando imaginamos que uma fun=E7=E3o y =3D f(x) =E9 uma = m=E1quina=20 onde os elementos x s=E3o transformados nas imagens = correspondentes=20 f(x); o processo de transforma=E7=E3o =E9 determinado pela lei de=20 correspond=EAncia.

Tal = modo metaf=F3rico=20 de conceber-se uma fun=E7=E3o pode-se constituir em interessante recurso = para uma=20 compreens=E3o efetiva da determina=E7=E3o da fun=E7=E3o inversa de uma = dada fun=E7=E3o y =3D f=20 (x), em vez das t=E9cnicas usuais onde o y =E9 substitu=EDdo por x (e = vice-versa),=20 sendo depois explicitado. Em vez disso, pode-se imaginar a fun=E7=E3o = g(x), inversa=20 de f(x), como sendo uma m=E1quina que executa as opera=E7=F5es inversas = das=20 correspondentes em f (x), na seq=FC=EAncia inversa, quer dizer, de = tr=E1s para=20 diante.

Tamb=E9m no caso da=20 composi=E7=E3o de fun=E7=F5es, a imagem da associa=E7=E3o de m=E1quinas = pode resultar=20 significativa e esclarecedora. Para destacar o fato de que tais recursos = n=E3o=20 podem ser considerados apenas eventualmente apropriados para uma = abordagem do=20 tema com crian=E7as ou adolescentes, reproduzimos a seguir a p=E1gina = relativa ao=20 tema extra=EDdo de um texto did=E1tico destinado ao ensino = universit=E1rio=20 (Bishir/Drewes, 1970):

"Still another=20 way of visualizing a function is as a machine or system which accepts = elements=20 of D(f) as inputs and which produces corresponding elements of R(f) as = outputs. If we insert an element a =CE D(f) into=20 the system, the corresponding value f(a) comes out. If another element = c =CED(f) is inserted, we obtain another = (not=20 necessarily different) value f(c). If we try to insert something not = contained=20 in the domain of f, it is rejected, for f operates only on elements = belonging=20 to its domain. Interpreting a function in this way makes clear the = distinction=20 between a function (the machine) and its values (outputs of the = machine). A=20 function should no more be confused with its values than a vending = machine=20 should be confused with a soft drink".

Assim,=20 independentemente do n=EDvel de tratamento, a fecundidade da = associa=E7=E3o=20 fun=E7=E3o-m=E1quina subsiste intacta. Um ind=EDcio interessante dessa = fecundidade =E9 a=20 pr=F3pria metamet=E1fora que se apresenta na =FAltima frase do texto do = exemplo=20 supra-referido.

3 O = Hotel=20 Natural

Examinemos agora um=20 outro exemplo onde pensar-se o conjunto dos n=FAmeros naturais como um = hotel=20 engendra uma Alegoria que pode contribuir significativamente para que as = id=E9ias=20 de Cantor (1845-1918) sobre uma aritm=E9tica transfinita resultem mais = access=EDveis=20 a quem nelas se inicia. A hist=F3ria que se segue =E9 devida ao = matem=E1tico David=20 Hubert (1862-1943), um dos expoentes do Formalismo, uma das tr=EAs = grandes=20 correntes do pensamento matem=E1tico a partir da segunda metade do = s=E9culo XIX. Ela=20 =E9 descrita por Hans Freudenthal, um matem=E1tico holand=EAs, em seu = livro=20 Perspectivas da matem=E1tica (Freudenthal, 1975).

"Certo hotel tem=20 uma infinidade de quartos numerados: 1, 2, 3, ... Esse hotel est=E1 = hoje=20 completamente cheio. No fim da tarde, chega mais um h=F3spede. =97 = Lotado =97 diz o=20 porteiro. =97 N=E3o importa =97 diz o gerente =97 o h=F3spede do = quarto 1 passa para o=20 2, este do 2 vai para o 3, o do 3 para o 4 e assim por diante, de modo = que o=20 novo h=F3spede pode entrar no quarto 1, vazio.

Mais = tarde,=20 por=E9m, chegam outros 1.000 novos h=F3spedes. =97 Lotado =97 diz o = porteiro. =97 N=E3o=20 importa =97 diz o gerente =97 o h=F3spede do quarto 1 vai para o 1001, = o do 2 para o=20 1002, e assim por diante e os novos h=F3spedes podem entrar livremente = nos=20 quartos de 1 a 1000.

Subitamente,=20 aparecem pessoas em n=FAmero infinito: senhores A1, A2, A3,... =97 = Lotado =97 diz o=20 porteiro. =97 N=E3o importa =97 diz o gerente =97 n=F3s mandamos o = h=F3spede do quarto 1=20 para o quarto 2, o do quarto 2 para o 4, o do 3 para o 6, cada um para = o=20 quarto com o n=FAmero dobrado, e ent=E3o as pessoas A1, A2, A3... = podem ser=20 acomodadas como h=F3spedes nos quartos 1, 3, = 5,..."

Naturalmente, com=20 algumas adapta=E7=F5es, essa hist=F3ria pode ser utilizada para a = compreens=E3o do fato=20 de o conjunto dos n=FAmeros racionais ser enumer=E1vel, como poderia = s=EA-lo para a=20 percep=E7=E3o da nao-enumerabilidade do conjunto dos n=FAmeros reais. = =C9 dif=EDcil=20 negar-se seu valor no que se refere =E0 dimens=E3o ret=F3rica da = linguagem. Dela, no=20 entanto, n=E3o se pode afirmar: "=E9 pura ret=F3rica!". Nela, a l=F3gica = e a ret=F3rica=20 parecem caminhar harmoniosamente juntas.

4 A = Cabra-Cega e=20 os Irracionais

Ainda = com rela=E7=E3o =E0=20 cardinalidade dos conjuntos dos racionais e dos irracionais, uma = situa=E7=E3o=20 concreta, estruturada a partir de uma brincadeira infantil bastante = conhecida =97=20 a cabra-cega =97 pode lan=E7ar um facho decisivo na compara=E7=E3o que = se=20 intenta.

Como se = sabe, =E9=20 muito maior a presen=E7a dos racionais nas atividades cotidianas, mesmo = as=20 escolares, onde os n=FAmeros irracionais surgem como casos excepcionais. = Dentre=20 eles, os transcendentes n=E3o parecem passar de tr=EAs ou quatro = ex=F3ticos exemplos.=20 Assim, =E9 natural que, a despeito das demonstra=E7=F5es formais de = enumerabilidade ou=20 n=E3o-enumerabilidade, estabele=E7a-se uma forte impress=E3o de = abund=E2ncia dos=20 racionais e de escassez de irracionais. Isso pode ser amplamente = corrigido com o=20 recurso =E0 cabra-cega.

Imaginemos a reta=20 real estendendo-se como um varal esticado horizontalmente, =E0 altura de = nossos=20 olhos. Munidos de uma agulha de ponta bem fina e com os olhos vendados,=20 espetemos um n=FAmero ao acaso; ter=E1 sido ele racional ou = irracional? Qual=20 a probabilidade de ser racional? Qual a probabilidade de ser irracional? = Explorando-se adequadamente tal "experi=EAncia de pensamento"=20 ("gedanken-experiment", na express=E3o de Einstein), =E9 = poss=EDvel=20 construir-se uma ponte conseq=FCente que conduza da expectativa inicial = da=20 abund=E2ncia dos racionais, a uma esp=E9cie de equil=EDbrio (inst=E1vel) = entre as duas=20 cardinalidades, passando-se ao fato de que a probabilidade de o n=FAmero = na ponta=20 da agulha ser irracional deve ser muito maior do que a de ser racional, = e=20 aportando-se, finalmente, na verdade inexor=E1vel: a probabilidade de o = n=FAmero=20 espetado ser racional =E9 zero; a probabilidade de ele ser = irracional =E9 um!=20 Naturalmente, isso n=E3o significa que o n=FAmero na agulha ser=E1 = sempre=20 irracional, nunca racional; infer=EAncias desse tipo s=E3o v=E1lidas = em espa=E7os=20 amostrais finitos mas n=E3o subsistem em quaisquer espa=E7os. De fato, = em linguagem=20 comum, o que se pode afirmar =E9 que quase sempre o n=FAmero na = agulha ser=E1=20 irracional, quase nunca ser=E1 racional.

Antes = de continuar,=20 destaquemos que os n=FAmeros irracionais podem ser alg=E9bricos ou = transcendentes.=20 Os irracionais alg=E9bricos t=EAm, apesar de tudo, uma "boa origem", na = medida em=20 que s=E3o sempre ra=EDzes de alguma equa=E7=E3o alg=E9brica onde todos = os coeficientes s=E3o=20 n=FAmeros inteiros. J=E1 no caso de um irracional transcendente, n=E3o = existe equa=E7=E3o=20 alg=E9brica com coeficientes inteiros que o tenha como raiz. S=E3o = n=FAmeros=20 "estranhos", como o O ou o O , ou alguns outros menos conhecidos e, de = um modo=20 geral, parecem constituir exce=E7=F5es no universo real.

Prosseguindo-se com=20 a "experi=EAncia", imaginemos agora que, de olhos vendados, espetamos = um=20 n=FAmero ao acaso e um observador externo informa-nos que esse n=FAmero = =E9=20 irracional; ser=E1 ele alg=E9brico ou transcendente? Qual a = probabilidade de o=20 n=FAmero irracional na agulha ser alg=E9brico? Qual a probabilidade de = ele ser=20 transcendente? Novamente aqui, a despeito da aparente rarefa=E7=E3o dos=20 transcendentes, a resposta correta =E9: probabilidade zero para a = ocorr=EAncia de um=20 irracional alg=E9brico; probabilidade um para a ocorr=EAncia de um = irracional=20 transcendente.

Assim, = a=20 experi=EAncia da cabra-cega pode, alegoricamente, servir de mote para a=20 compreens=E3o de um fato fundamental a respeito dos n=FAmeros reais, = amplamente=20 conhecido, mas freq=FCentemente situado bem longe da consci=EAncia = imediata: apesar=20 de, ao longo de toda a vida escolar, n=E3o termos contato sen=E3o com = alguns poucos=20 n=FAmeros transcendentes, quase todos os n=FAmeros reais s=E3o = irracionais e quase=20 todos os n=FAmeros irracionais s=E3o transcendentes.

5 Um = quase-contra-exemplo: o M=E1gico Logar=EDtmico

Em O = poder da=20 Matem=E1tica (Dienes, 1975), o Prof. Zoltan P. Dienes, bastante = conhecido=20 pelas transposi=E7=F5es para a sala de aula de Matem=E1tica das id=E9ias = de Piaget sobre=20 a psicog=EAnese do conhecimento, explora intensamente as Alegorias como = recurso=20 pedag=F3gico. Os princ=EDpios da "express=E3o m=FAltipla" e do = "contraste", que Dienes=20 formula inicialmente, servem de base para a constru=E7=E3o ao longo do = texto de=20 in=FAmeras "experi=EAncias de pensamento", muitas delas de natureza = aleg=F3rica.=20 Examinemos uns de seus exemplos: o do "M=E1gico = Logar=EDtmico":

"Um = m=E1gico habita=20 um pal=E1cio circular no meio de uma cidade, que ele controla = inteiramente.=20 Pelos seus poderes m=E1gicos ele supre todo o dinheiro que acha que as = pessoas=20 deveriam ter. Elas vivem em casas ao longo de avenidas que partem = radialmente=20 do pal=E1cio circular. As pessoas que habitam uma mesma casa recebem = sempre a=20 mesma quantia de dinheiro, de modo que tenham o mesmo padr=E3o de vida = e n=E3o=20 fiquem com inveja umas das outras. Ao longo do lado direito das = avenidas=20 (vistas do pal=E1cio) h=E1 casas; h=E1 anexos pertencentes =E0s casas = ao longo do lado=20 esquerdo; as avenidas s=E3o numeradas, como em Nova Iorque, 1=AA = Avenida, 2=AA=20 Avenida, 3=AA Avenida, e assim por diante, aumentando os n=FAmeros das = avenidas no=20 sentido anti-hor=E1rio, a partir da l=AA Avenida. As pessoas ricas = moram de um=20 lado da cidade =97 suas avenidas ocupam somente a metade da cidade, = isto =E9,=20 irradiam a partir somente da metade do pal=E1cio. No outro lado da = cidade moram=20 as pessoas mais pobres. As avenidas deste lado s=E3o numeradas com os = mesmos=20 n=FAmeros, sendo estas avenidas continua=E7=E3o da 2=AA, 3=AA, e = outras avenidas do=20 outro lado do pal=E1cio. Naturalmente h=E1 tamb=E9m uma primeira = avenida na parte=20 pobre, que =E9 uma continua=E7=E3o da primeira avenida da parte = rica.

Em = cada avenida=20 as pessoas das casas mais pr=F3ximas ao pal=E1cio ganham diariamente = uma quantia=20 de 1 libra. Suas casas t=EAm marcado sobre a porta o numeral zero, = isto =E9, 0.=20 Estas casas formam um c=EDrculo ao redor do pal=E1cio. As outras casas = s=E3o=20 numeradas 1, 2, 3, 4..., etc. =E0 medida que se distanciam do = pal=E1cio. Todas as=20 outras pessoas nas casas da Primeira Avenida, quer na parte rica quer = na=20 pobre, tamb=E9m ganham uma quantia de 1 libra diariamente. Mas na = Segunda=20 Avenida, na parte rica, =E0 medida que se distanciam do pal=E1cio, os = ocupantes de=20 cada casa ganham exatamente duas vezes tanto quanto os ocupantes da = casa=20 anterior. Portanto, o morador da casa n=B0 4 ganhar=E1 duas vezes a = quantia=20 daqueles que moram na casa n=BA 3. Na Terceira Avenida da parte rica = as casas=20 s=E3o ainda numeradas 1, 2, 3, 4..., etc. =E0 medida que se afastam do = pal=E1cio,=20 mas desta vez cada ocupante de uma casa ganha tr=EAs vezes o que ganha = um=20 ocupante da casa anterior. Na 4=AA Avenida, os ocupantes das = casas=20 recebem quatro vezes tanto quanto os ocupantes da casa anterior e = assim por=20 diante para todas as avenidas.

Do = lado pobre as=20 casas sao numeradas com n=FAmeros negativos. A casa seguinte =E0 = casa-zero tem o=20 n=FAmero -1 em cada uma das avenidas, a casa seguinte =E9 sempre -2, e = assim por=20 diante. Na Segunda Avenida, no lado pobre, =E0 medida que algu=E9m se = afasta do=20 pal=E1cio, os ocupantes das casas ganham metade daquilo que os = ocupantes das=20 casas anteriores obtiveram; na Terceira Avenida, um ter=E7o e assim = por=20 diante.

A = todas as=20 pessoas =E9 atribu=EDdo um trabalho, e os olhos do m=E1gico est=E3o em = toda parte=20 durante o tempo todo, de modo que ele sabe se algu=E9m executou = devidamente ou=20 n=E3o o trabalho do dia. O bom trabalho =E9 recompensado, o mau = trabalho =E9 punido.=20 Ele tem um sistema de r=E1dio de modo que pode comunicar-se com = qualquer pessoa=20 em sua casa t=E3o logo ela retorne do trabalho. Simplesmente tem que = pronunciar=20 as palavras m=E1gicas e a recompensa ou puni=E7=E3o instantaneamente = acontece. Isto=20 sempre toma a forma de uma altera=E7=E3o na quantia di=E1ria de = dinheiro. Por=20 exemplo:

Hocus = 1 na 2=AA=20 Avenida significa dobrar a quantia

Hocus = 2 na 2=AA=20 Avenida significa quadruplicar a quantia

Hocus = 3 na 2=AA=20 Avenida significa multiplicar a quantia por 8

Hocus = 4 na 2=AA=20 Avenida significa multiplicar a quantia por 16

Por = outro=20 lado:

Pocus = 1 na 2=AA=20 Avenida significa a metade da quantia

Pocus = 2 na 2=AA=20 Avenida significa dividir por 4 a quantia

e = assim por=20 diante.

De = acordo com as=20 regras da cidade, qualquer um que tenha sido sujeito a um 'hocus' ou a = um=20 'pocus' tem que se mudar para outra casa na Avenida onde as pessoas = est=E3o=20 ganhando a mesma quantidade de dinheiro.

Logo, = tornar-se-=E1=20 claro que no lado rico 'hocus x' significa que voc=EA se distancia x = casas do=20 pal=E1cio, enquanto 'pocus x' significa que voc=EA se move x casas em = dire=E7=E3o ao=20 pal=E1cio. Portanto 'hocus' =E9 uma recompensa e 'pocus' uma = puni=E7=E3o.

No = lado pobre,=20 por outro lado, um 'hocus' envolve movimento em dire=E7=E3o ao = pal=E1cio; e um=20 'pocus' leva o recebedor para longe do pal=E1cio. (Estas s=E3o = contrapartes na=20 est=F3ria das muito importantes rela=E7=F5es matem=E1ticas, e como as = crian=E7as=20 trabalham atrav=E9s de est=F3rias, devem tornar-se conscientes destas = rela=E7=F5es,=20 primeiro como propriedades da est=F3ria e mais tarde como rela=E7=F5es = matem=E1ticas=20 puras.)

Incidentalmente,=20 mesmo para algu=E9m no lado rico, uma puni=E7=E3o 'pocus' pesada = poderia coloc=E1-lo=20 no lado pobre".

Este = formid=E1vel=20 exemplo desenvolve-se, pleno de pormenores, ao longo de pelo menos = quinze=20 p=E1ginas do texto de Dienes. A meta =E9 a compreens=E3o das = propriedades operat=F3rias=20 com pot=EAncias e logaritmos. Nesse caso, no entanto, muitas outras = concep=E7=F5es s=E3o=20 introjetadas, configurando uma situa=E7=E3o onde os efeitos colaterais = =97 negativos,=20 no exemplo, sobrepujam os resultados pretendidos.

De = fato, examinando=20 com mais vagar a textura da Alegoria proposta, percebemos que a forma = como a=20 realidade concreta =E9 apresentada traduz um modo bastante discut=EDvel = de=20 conceb=EA-la, oscilando entre uma abordagem ing=EAnua e um pensar = ideologicamente=20 comprometido.

Postula-se que=20 existem ricos e existem pobres. A todos =E9 atribu=EDdo um trabalho. E o = desempenho=20 que justifica a ascens=E3o de uns, a queda de outros, desempenho este = julgado pelo=20 m=E1gico, onipotente, onisciente, detentor do crit=E9rio de verdade = absoluta, capaz=20 de manipular a realidade ao seu bel-prazer, instituindo regras, = postulando novas=20 exig=EAncias e mantendo o controle total de tudo e de todos, com "seus = olhos que=20 est=E3o em toda parte". O dinheiro aparece como algo obtido por se ter = agradado ao=20 m=E1gico, ou ent=E3o de forma m=E1gica, n=E3o se relacionando com o que = se produz, com o=20 seu significado econ=F4mico mais prosaico, como se sugere no trecho=20 seguinte:

"Suponhamos agora=20 que o m=E1gico invente outra esp=E9cie de m=E1gica. Decide cham=E1-la = DIFERUS.=20 Funciona da seguinte maneira: DIFERUS 1/2 significa que, esteja onde = voc=EA=20 estiver na Avenida 2 1/2, voc=EA se muda para a Terceira Avenida... = Voc=EA n=E3o vai=20 morar l=E1, apenas verificar quanto as pessoas daquela casa est=E3o = recebendo a=20 mais que voc=EA. Ent=E3o, tome duas vezes a diferen=E7a e este ser=E1 = o seu aumento de=20 pagamento...".

Mesmo = aos mais=20 recalcitrantes =E0 inser=E7=E3o da dimens=E3o pol=EDtica no discurso = matem=E1tico, n=E3o=20 parece natural a caracteriza=E7=E3o da realidade da forma que o texto = deixa=20 transparecer, totalmente dependente dos caprichos de um m=E1gico=20 todo-poderoso.

Poder-se-ia=20 argumentar que tais preocupa=E7=F5es com efeitos colaterais = indesej=E1veis=20 assemelham-se a uma perquiri=E7=E3o de chifres em cabe=E7a de cavalo. O = pr=F3prio Black,=20 em Modelos e met=E1foras (ja citado anteriormente), ressalva = que

"As = met=E1foras=20 subordinadas que uma met=E1fora implica s=E3o como os harm=F4nicos de = um acorde=20 musical: conceder-lhes demasiado peso =E9 o mesmo que fazer com que = soem t=E3o=20 fortemente quanto as notas principais e igualmente=20 desatinado".

=C9 = necess=E1rio, no=20 entanto, que no engendramento da Alegoria o autor n=E3o d=EA margem a = que as notas=20 principais soem t=E3o baixo- que corram o risco de serem confundidas,=20 desatinadamente, com alguns harm=F4nicos secund=E1rios, ou que alguns = desses=20 harm=F4nicos possam soar t=E3o alto que s=F3 prestemos aten=E7=E3o = neles.

Alegorias sobre=20 o Ensino de Matem=E1tica

Uma = outra via=20 atrav=E9s da qual o pensamento figurado pode servir de recurso = pedag=F3gico no=20 ensino de Matem=E1tica =E9 a das Par=E1bolas, que se destinam a sugerir = modifica=E7=E3o=20 global no comportamento, nas atitudes, nas concep=E7=F5es gerais = relativas ao tema.=20 Ainda que de passagem, examinemos dois exemplos.

1 A = Par=E1bola=20 Cocotol=F3gica

Amor = y=20 pedagogia, =E9 o t=EDtulo de uma interessante novela escrita na = Espanha, no=20 final do s=E9culo XIX, por Miguel de Unamuno (Unamuno, 1989). Numa = arguta rea=E7=E3o a=20 um Positivismo exacerbado que ent=E3o grassava, superdimensionando a = import=E2ncia=20 da Ci=EAncia, concebida em sentido demasiadamente estrito, o autor = apresenta um=20 personagem que resolve pautar sua vida "cientificamente" ; namora=20 "cientificamente", casa "cientificamente", tem um filho = "cientificamente",=20 educa-o "cientificamente" etc., etc., etc. As conseq=FC=EAncias s=E3o = previs=EDveis=20 demais para que nos alonguemos em min=FAcias, ficando apenas registrado = aqui o=20 convite =E0 leitura da obra de Unamuno. Nosso interesse na refer=EAncia = =E9 decorrente=20 do fato de que a referida novela apresenta um ap=EAndice, com o t=EDtulo = Apuntes=20 para, um tratado de Cocotologia, cuja import=E2ncia para o ensino de = Matem=E1tica parece-nos extraordin=E1ria. Nele, o autor estabelece as = bases de uma=20 nova Ci=EAncia =97 a Cocotologia =97, tratando com pormenores de seu = estatuto, seus=20 objetivos, seus m=E9todos, das rela=E7=F5es com as outras Ci=EAncias = etc. A linguagem=20 utilizada =E9 cuidadosamente formal, pretensamente precisa, impregnada = de termos=20 t=E9cnicos, bem definidos e, ap=F3s a leitura de umas poucas p=E1ginas, = sedimenta-se=20 uma sensa=E7=E3o muito forte de respeitabilidade pelo tema, uma = apar=EAncia de=20 erudi=E7=E3o, uma posi=E7=E3o de rever=EAncia pela nova Ci=EAncia que se = instaura.

Literalmente, a=20 Cocotologia =E9 a "Ci=EAncia" que trata da constru=E7=E3o de passarinhos = de papel,=20 sempre a partir de um quadrado. Etimol=F3gicamente, a palavra =E9 = derivada de=20 cocotte, palavra francesa com que as crian=E7as se referem =E0s = aves em=20 geral. Na constru=E7=E3o dos cocottes, que podem ser machos, = f=EAmeas,=20 hermafroditas ou neutros, percorremos um caminho ling=FC=EDstico que = inclui=20 "conceitos" como os de "=F3vulo quadrado papir=E1ceo", = "blastotetr=E1gono",=20 "endodermo", "ectodermo", "g=E1strula papir=E1cea ", "n=FAcleo=20 tangr=E2mico^f', "endocerco ", "mesocerco", "metacerco", = "prot=F3pode",=20 "mes=F3pode", "met=E1pode", "protoc=E9faio", "metac=E9falo" = etc.

Em = sentido=20 figurado, a Cocotologia =E9 a "Ci=EAncia" que trata da transforma=E7=E3o = de uma=20 banalidade em coisa de apar=EAncia s=E9ria, sobretudo atrav=E9s de uma = sofistica=E7=E3o=20 artificial e desnecess=E1ria da linguagem.

A = constru=E7=E3o da=20 Cocotologia pode ter, para professores de Matem=E1tica, o significado de = uma=20 Par=E1bola muito fecunda. De fato, os exageros na utiliza=E7=E3o de uma = linguagem=20 pretensamente t=E9cnica, supostamente precisa, exageradamente formal = soem=20 apresentar-se como uma efetiva fonte de dificuldades no ensino de = Matem=E1tica.=20 Quantas vezes j=E1 se ter=E1 insistido com crian=E7as que apenas se = iniciam nas id=E9ias=20 matem=E1ticas na distin=E7=E3o precisa entre n=FAmero e = numeral, entre=20 pol=EDgono e regi=E3o poligonal? Quantas vezes j=E1 se ter=E1 = tentado=20 caracterizar nessa faixa et=E1ria uma rela=E7=E3o de equival=EAncia = a partir das=20 propriedades reflexiva, sim=E9trica e transitiva, e n=E3o = a partir de=20 classifica=E7=F5es onde, acacianamente equivaler quer dizer = ter o mesmo=20 valor? Quanta energia j=E1 se ter=E1 dispendido na distin=E7=E3o = entre=20 congru=EAncia e igualdade, na refer=EAncia a segmentos, = =E2ngulos ou=20 tri=E2ngulos?

A nosso = ver, nesses=20 casos, o pre=E7o que se paga pela filigrana de precis=E3o = terminol=F3gica inclui um=20 distanciamento muito al=E9m do desej=E1vel entre a l=EDngua corrente e a = linguagem=20 matem=E1tica. Corre-se o risco, em alguns casos, de tornar os termos = utilizados em=20 Matem=E1tica t=E3o artificialmente sofisticados quanto os da linguagem = cocotol=F3gica=20 da constru=E7=E3o de passarinhos de papel.

2 Os = Fantasmas=20 Axiom=E1ticos

Para = chamar a=20 aten=E7=E3o com rela=E7=E3o ao fato de que o tratamento matem=E1tico de = um tema n=E3o se=20 limita apenas =E0 reapresenta=E7=E3o do mesmo em linguagem matem=E1tica = nem transforma=20 automaticamente este tema em Matem=E1tica, examinaremos agora uma = constru=E7=E3o=20 aleg=F3rica que pode ser explorada didaticamente como uma fecunda = Par=E1bola:=20 trata-se da Teoria Axiom=E1tica dos fantasmas. Com a inten=E7=E3o = acima=20 referida, tal exemplo =E9 apresentado por M=E1rio Bunge, em La = investigaci=F3n=20 cient=EDfica (Bunge, 1983).

Teoria=20 axiom=E1tica dos fantasmas

No=E7=F5es=20 primitivas

U =E9 = um conjunto de=20 fantasmas; E =E9 a energia fantasmal; d =E9 a densidade = ectoplasm=E1tica; t =E9 a idade=20 do fantasma; N =E9 o n=FAmero de perversidades realizadas pelo fantasma = at=E9 o tempo=20 t.

Axiomas

A1: = Para todo x=20 de U, a energia de x =E9 diretamente proporcional =E0 densidade do = ectoplasma de x=20 e inversamente proporcional =E0 idade de x:

=20 (t > 0, k₁ =3D constante > 0)

A2: = Para todo x=20 de U, a densidade do ectoplasma de x =E9 uma fun=E7=E3o do 1=B0 grau = do n=FAmero de=20 perversidades que x j=E1 realizou:

d =3D = K₂N=20 + d_o

A3: = Para todo x=20 de U, o n=FAmero m=E9dio de perversidades realizadas at=E9 o tempo t = =E9=20 constante:

N_m=E9dio =3D=20 K₃

Teoremas mais=20 interessantes

T1: = De A1 e A2,=20 pode-se concluir que

T2: = De A3, segue=20 que

N =3D = K₃t

T3: = De T1 e T2,=20 segue que

T4: = De T3,=20 pode-se concluir que quando t se aproxima do infinito, a energia tende = a uma=20 constante:

A = partir de uma=20 teoria assim apresentada, rapidamente muitos problemas podem ser = formulados, ora=20 sendo dados os valores de t, d, e N e pedido o valor de E, ora sendo = dados t, d=20 e E e pedido o valor de N etc. Pode-se pedir ainda, a partir de = condi=E7=F5es=20 iniciais bem definidas, o valor da energia fantasmal no infinito, bem = como o=20 gr=E1fico de E em fun=E7=E3o de t, e outras tecnicidades = mais.

Pode-se = perceber=20 facilmente, no entanto, que o conhecimento a respeito de = fantasmas n=E3o=20 avan=E7ou um mil=EDmetro sequer, em decorr=EAncia de tal formula=E7=E3o = te=F3rica. Tamb=E9m=20 parece claro que nem mesmo a resolu=E7=E3o de uma extensa lista de = exerc=EDcios=20 relativos ao tema dar=E1 ao mesmo um sentido pr=E1tico. De pouco = adiantaria,=20 ainda, apresentar previamente aos alunos um filme sobre fantasmas, como=20 material concreto para ilustrar a aula. O tratamento dos = fantasmas de=20 modo axiom=E1tico, a despeito de matematicamente correto, permanece = completamente=20 vazio em termos de significado concreto. Tal como um bom n=FAmero de = temas,=20 tratados em aulas de Matem=E1tica, nos diversos graus do = Ensino.

Conclus=E3o: o=20 c=EDrculo literal-figurado

Nosso = ponto de=20 partida foi a contraposi=E7=E3o muito freq=FCente entre a linguagem = matem=E1tica, com o=20 predom=EDnio da denota=E7=E3o, da monossemia, do sentido literal, e a = l=EDngua corrente,=20 com as conota=E7=F5es, a polissemia, os sentidos figurados.

A meta = pretendida=20 era alertar para a import=E2ncia das Met=E1foras, das Alegorias e, de = uma maneira=20 geral, dos sentidos figurados no Ensino de Matem=E1tica.

Intencionalmente,=20 deixamos de lado tanto a utiliza=E7=E3o de termos ou express=F5es = matem=E1ticas na=20 linguagem ordin=E1ria em sentido figurado, quanto o emprego de = express=F5es do mesmo=20 tipo em outras =E1reas do conhecimento, como a Psicologia, onde = necessariamente=20 estariam presentes os sentidos metaf=F3ricos.

Tratamos, ent=E3o,=20 exclusivamente, de apresentar exemplos de situa=E7=F5es concebidas para = o ensino da=20 pr=F3pria Matem=E1tica e examinamos tanto a utiliza=E7=E3o de = Met=E1foras ou Alegorias=20 arquitetadas para facilitar a aproxima=E7=E3o de determinados assuntos = quanto=20 Par=E1bolas destinadas a servir de alerta com rela=E7=E3o a certos = desvios na doc=EAncia=20 que conduzem a abusos no formalismo ou na linguagem. Especialmente se = nos=20 abr=EDssemos =E0s Ci=EAncias em geral, os exemplos poderiam ser = facilmente=20 multiplicados: o Paradoxo de Russell, o Dem=F4nio de Maxwell, o Gato de=20 Schr=F5endinger, a Fun=E7=E3o de S=EDsifo, a Raz=E3o =C1urea = etc.

O = pr=F3prio terreno=20 da Epistemologia revela-se especialmente fecundo para a semente = metaf=F3rica.=20 Quando Granger, em Filosofia do Estilo, compara os estilos = cartesiano e=20 arguesiano, examinando as linguagens utilizadas por Descartes e = Desargues em=20 seus trabalhos sobre Geometria =97 escritos no mesmo pa=EDs, na mesma = =E9poca,=20 submetidos, portanto, a influ=EAncias externas razoavelmente similares = =97, ele=20 caracteriza a linguagem cartesiana como direta, literal, enquanto a = arguesiana=20 seria impregnada de Met=E1foras. N=E3o h=E1 refer=EAncias, na arguta = an=E1lise=20 grangeriana, a um fato not=E1vel, que nos parece decisivo para uma = aprecia=E7=E3o=20 adequada da aus=EAncia de Met=E1foras no texto cartesiano: a = Geometria=20 cartesiana =E9 um dos tr=EAs ap=EAndices de O Discurso do = M=E9todo, em que o=20 autor visava a uma ilustra=E7=E3o de seu m=E9todo para " bem conduzir a = pr=F3pria raz=E3o=20 e procurar a verdade nas ci=EAncias". Quando, no entanto, examinamos o = texto de=20 O Discurso, encontramos, apenas nas dez p=E1ginas iniciais, mais = de trinta=20 Met=E1foras, algumas delas absolutamente fundamentais na obra = cartesiana.=20 Considerando-se, portanto, O Discurso e seu ap=EAndice = conjuntamente, as=20 Met=E1foras n=E3o seriam caracter=EDsticas distintivas entre Descartes e = Desargues.=20 Uma an=E1lise mais cuidadosa desse ponto mereceria todo um ensaio e = n=E3o apenas=20 algumas linhas. Fica aqui apenas o registro de um ind=EDcio de uma = poss=EDvel=20 inevitabilidade do recurso =E0 Met=E1fora, mesmo em textos que = intencionalmente=20 procuram evit=E1-la.

Ainda = no que se=20 refere =E0 justifica=E7=E3o do conhecimento, o denso trabalho de K. R. = Poper,=20 Conhecimento objetivo, (S=E3o Paulo, EDUSP, 1975), fornece novos = ind=EDcios=20 da inevitabilidade do recurso =E0 Met=E1fora: a despeito do teor da = obra, algumas de=20 suas p=E1ginas mais brilhantes t=EAm como t=EDtulo "De nuvens e = rel=F3gios" e tratam,=20 metaforicamente, da racionalidade e da liberdade do homem.

Para = continuar=20 nessa dire=E7=E3o, no entanto, seria necess=E1rio que examin=E1ssemos = com mais vagar o=20 car=E1ter essencial =97 e sem trocadilhos =97, a fun=E7=E3o e os limites = do pensamento=20 figurado no ensino de Matem=E1tica e nas Ci=EAncias. Seria necess=E1rio = aprofundar,=20 ent=E3o, a caracteriza=E7=E3o do pensamento figurado como o = protocient=EDfico, a caminho=20 do cient=EDfico, ou situ=E1-lo na linha de frente da Pesquisa, = como o recurso=20 fundamental para a compreens=E3o do novo. Naturalmente, o ou = acima n=E3o =E9=20 exclusivo. Quando Max Black afirma que

"Talvez toda=20 ci=EAncia tenha que come=E7ar com met=E1foras e terminar com = =E1lgebra; e =E9 poss=EDvel=20 que sem a met=E1fora nunca houvesse existido '=E1lgebra alguma'" = (Black,=20 1966),

n=E3o = se pode inferir=20 da=ED que a constru=E7=E3o do conhecimento segue uma via de m=E3o = =FAnica que conduz da=20 Met=E1fora =E0 =E1lgebra, do sentido figurado ao literal. Na verdade, o = pensamento=20 alg=E9brico, ainda quando literal no sentido literal, engendra = leg=EDtimas Met=E1foras=20 sist=EAmicas, n=E3o-t=F3picas, p=F4ssibilitando fecundas = transfer=EAncias globais de=20 significados entre contextos bastante diversos. No interior da pr=F3pria = Matem=E1tica, o literal e o figurado interagem continuamente, numa = a=E7=E3o rec=EDproca=20 cuja representa=E7=E3o aproxima-se muito mais de um c=EDrculo do que de = um vetor.=20 Nesse sentido =E9 que se podem compreender proposi=E7=F5es = matematicamente corretas=20 como s=E3o as que afirmam ser o conjunto das solu=E7=F5es de uma = equa=E7=E3o diferencial=20 linear ordin=E1ria de 2=AA ordem um "espa=E7o vetorial de dimens=E3o = 2".

Analogamente, no=20 que se refere ao Ensino de Matem=E1tica, =E9 not=E1vel e sintom=E1tica a = utiliza=E7=E3o que=20 Van-Hiele faz da moderna Teoria das Categorias, no seio da =C1lgebra = Homol=F3gica,=20 para caracterizar os n=EDveis de conhecimentos e os processos de = aprendizagem:=20 cada n=EDvel seria uma Categoria; o processo que conduz de um n=EDvel = at=E9 outro n=E3o=20 passaria de um Funtor... (Van-Hiele, 1986).

Numa = palavra, a=20 permanente transa=E7=E3o entre os sentidos literal e figurado =E9 o = motor dos=20 processos criativos, das iniciativas diante do novo, das = transcend=EAncias da=20 imagina=E7=E3o. Em tais situa=E7=F5es, t=E3o freq=FCentes na = constru=E7=E3o do conhecimento como=20 nos processos de ensino, a primeira como a =FAltima palavra parece estar = sempre=20 com a Met=E1fora, com a imagina=E7=E3o.

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N=EDlson Jos=E9=20 Machado =E9 professor da Faculdade de Educa=E7=E3o da Universidade = de S=E3o=20 Paulo.

=A9 2008 Instituto de Estudos = Avan=E7ados da=20 Universidade de S=E3o Paulo

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